Energie d’une éolienne :

Comme on peut s’en douter, la puissance qu’une éolienne peut récupérer du vent dépend de la surface d’air interceptée et de la vitesse du vent.

L’énergie volumique d’un fluide en mouvement à la vitesse v vaut, si on néglige la pesanteur et la viscosité (deux approximations pertinentes dans notre cas puisque l’air est très peu visqueux et on regarde un déplacement d’air horizontal) :

Pendant un laps de temps dt, le volume d’air intercepté par l’éolienne se trouve compris dans le cylindre de génératrice vdt et de section S (aire balayée par les pales). L’énergie de cette tranche d’aire vaut donc :

Et si l’éolienne pouvait récupérer toute cette énergie, sa puissance serait :

Avec ρ=1kg/m3 et pour des pales de 35 m, la surface balayée est d’environ 4000 m2 donc la puissance maximale récoltable est d’environ 5 MW pour un vent de 50 km/h, soit 14m/s.

Bien sûr, il y a des pertes dans la conversion et surtout, l’écoulement du vent n’est pas stoppé, on ne récupère donc qu’une partie de la puissance disponible (un peu moins de la moitié).

Energie solaire :

Le soleil peut être considéré comme un corps noir dans la mesure où les photons qui s’en échappent sont «thermostatés», c’est-à-dire qu’ils sont quasiment tous émis par une partie du soleil (la surface) ayant une température relativement fixe (T≈6000 K). Les photons venant d’une partie plus centrale du soleil (d’une autre température) sont absorbés en route.

On peut donc utiliser la loi de Stefan, liant température d’un corps noir et puissance rayonnée par unité de surface :

Dans le cas du soleil, cela donne environ 108 W/m2.

Au niveau de l’orbite terrestre, cette énergie s’est diluée d’un facteur :

(RΘ/RT-S)2 = (7.105/1,5.108)2 ≈ 10-5

On reçoit donc sur terre environ 1 kW par m2 de rayonnement solaire !

Les rendements des cellules photovoltaïques n’étant que d’environ 15% aujourd’hui, un panneau d’1 m2 fournit donc 150 W.

liaison covalente :

Elle correspond à des électrons délocalisés entre deux noyaux espacés de quelques angströms. L’énergie est donc une fraction (une fraction seulement car les deux noyaux continuent à se repousser et les électrons ne sont que majoritairement et non totalement présents à cet endroit), environ 10%, de l’énergie coulombienne correspondante :

C’est donc l’énergie par liaison pour un nombre n de charges impliquées. En supposant que le n2 et les 10% sont de même orde de grandeur, on a une énergie d’environ 1 eV par liaison ou encore 100 kJ/mol.

On a le même ordre de grandeur pour une énergie d’ionisation du fait de l’écrantage.

liaison ionique :

environ 100 kJ/mol aussi (l’énergie coulombienne est maintenant «pure», plus besoin des 10%, mais les ions sont un peu plus éloignés).

liaison hydrogène :

dipôle permanents “fixes” (cristaux se recombinant rapidement) :

dans le cas de l’eau, le moment dipolaire est de quelques 10-30 C.m (∼6) et la distance inter-dipôle vaut quelques angströms (∼2). Par conséquent, l’énergie vaut :

Soit 0,1 eV par liaison, ou 10 kJ/mol.

liaison Van der Waals :

dipôles permanents bougeant (il faut moyenner statistiquement les orientations), ou dipôles induits interagissant :

Energie d’environ 0,01 eV ou 1 kJ/mol

LeThéorème du Viriel relie l’énergie cinétique et potentielle de particules en interaction, et dans le cas d’un équilibre dynamique, on a : 2Ec=Ep.

Disons que les particules en interaction sont celles du soleil. Pour le soleil, l’énergie potentielle vaut approximativement :

Et l’énergie cinétique moyenne d’un gaz est de l’ordre de :

N=MΘ/mp où mp = masse moyenne par particule (masse d’un proton), on obtient :

Or la température permettant de “coller” deux protons correspond au franchissement de la barrière colombienne :

Avec r = 1 fm, on obtient une énergie d’environ 1MeV.

Cela correspond à une température minimum de E/kB = 1010 K soit 10 milliards de K. Or notre calcul montre qu’elle est 1000 fois plus faible ! Et pourtant le soleil vit.

C’est l’effet tunnel qui permet de pénétrer la barrière à des températures plus basses ! La probabilité de traverser la barrière d’énergie est en :

Et la probabilité d’avoir un proton ayant une énergie Ec (énergie thermique) est en :

C’est le pic de Gamow avec un maximum très étroit en :

Pour E=1MeV (barrière) et T=107K, cela donne une énergie thermique de l’ordre de 10 keV, donc de l’ordre de kBT. On est sauvés, nos observations (le soleil brille) ne sont pas sans lien avec le calcul ! En effet, l’énergie thermique demandée pour assurer une pénétration non négligeable de la barrière est tout à fait accessible à cette température. Deux protons peuvent donc fusionner à une température de 10 millions de Kelvins. Mais le pic étant très étroit, cela implique qu’une très faible proportion seulement de protons participent à la fusion (seuls ceux ayant la bonne énergie thermique à très peu de choses près), expliquant la grande longévité des étoiles. Et cela explique aussi la robustesse de la rétroaction gravitation-allumage réaction : tout écart à l’équilibre est très rapidement étouffé car on sort alors du pic.

On déduit aussi de notre petit calcul qu’une étoile plus massive doit avoir une durée de vie paradoxalement plus courte (même si on a plus de protons à brûler). En effet, on aurait une température de coeur plus grande et donc une énergie thermique au pic de Gamow plus probable, ce qui aboutit à une proportion plus grande de protons fusionnant. Et si la quantité de protons augmente de façon polynomiale avec la masse, la proportion fusionnant suit une exponentielle. Au final, on en perd plus qu’on en gagne...

Démonstration théorème du Viriel :

Système de particules classiques en interaction mutuelle

Soit le moment d’inertie I :

d’où

dans le cas statique :

Energie libérée par une SNII :

L’énergie gagnée par l’extérieur lors d’une explosion d’une étoile massive correspond à la différence entre l’énergie gravitationnelle de ce qui va s’effondrer (le coeur de fer) et l’énergie gravitationnelle de ce qui est formé (l’étoile à neutron, EN), et l’énergie gravitationnelle du coeur de fer étant négligeable devant celle de l’étoile à neutron :

E = Egrav(coeur de fer) - Egrav(EN) ≈ -Egrav(EN) ≈ Ξ Mc2

Où Ξ est le paramètre de relativité (Ξ = GM/Rc2 = Rsch/R) et vaut 0,1 pour une EN (M=1,4MΘ et R=10km), il traduit l’écart entre physique newtonienne et relativité générale.

On obtient approximativement 1046 joules pour l’énergie libérée !

Cela correspond au rayonnement d’une galaxie pendant 30 ans (1011 étoiles pour une luminosité standard LΘ=1026 W et avec 1 an ≈ π.107 s).

Temps de vie du soleil :

On cherche le temps mis par le soleil pour bruler l’énergie dont il dispose. 

0,7% de la masse en hydrogène est transformée en énergie.

Donc pour chaque proton, on a environ 1/100 GeV dégagé (mpc2 ≈ 1GeV), soit 10-12 J.

Or on a environ N=MΘ/mp protons dans le soleil, soit ≈ 1056 particules.

On a donc 1044 joules comme réservoir d’énergie (εMΘc2).

Et cette énergie est diffusée chaque seconde dans l’espace sous forme de luminosité :

LΘ ≈ 1026 J/s.

On a donc 1018 s devant nous, soit environ 1010 ans, donc de l’ordre de 10 milliards d’années.

densité

1 g.cm-3 = densité de l’eau sur terre ou encore densité du soleil.

matière nucléaire : 3.1014 g.cm-3 Correspond à 1,4MΘ sur un rayon de 10 km (1030/1012 = 105 kg/m3)