Analyse (collège)

Notion de fonction

Les graphiques à 2 axes sont assez intuitifs : 

l’axe vertical représente une donnée (un poucentage par exemple) et l’axe horizontal une autre donnée (comme le temps). 

La courbe rend alors compte de l’évolution de la donnée verticale 

en fonction de la donnée horizontale.

Quelques exemples empruntés au génial Randall Munroe (alias XKCD) :

il a représenté dans ce graphe le pourcentage d’américains transportant en permanence un appareil capable de prendre des photos en fonction de la date. 

À chaque date (lue horizontalement) correspond un pourcentage (lu verticalement).

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Une fonction f est la règle de calcul qui donne un résultat appelé f(x) à partir de la variable x (ce résultat f(x) est la hauteur donnée aux valeurs de l’axe des abscisses).

le nombre x est appelé antécédent 

et le nombre f(x) est l’image.

Fonctions linéaires

Si la règle (ou programme) de calcul consiste à multiplier la variable x par un nombre a, on obtient une fonction linéaire :

f : x ↦ a×x

a est le coefficient de la fonction linéaire.

Exemple de programme de calcul aboutissant à une fonction linéaire : 

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La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine du repère.

Une fonction linéaire signe une situation de proportionnalité entre x et f(x) (puisque le quotient f(x):x = a est constant !). 

a est donc le coefficient de proportionnalité entre x et f(x).

f:x → 3x

Si un prix x augmente de 5%, le montant de l’augmentation 

se calcule en multipliant x par 5%.

Le prix final vaut donc : 


x + x×5% = x×1 + x×5%  

            = x×(1+5%) 

            = x×(1+5:100) 

            = x×(1+0,05) 

            = 1,05x

On obtient la fonction linéaire de coefficient 1,05.

 Il suffit donc de multiplier un prix par (1+p:100)

pour obtenir le prix après augmentation de p%.

Et pour une réduction, on le multiplie par (1-p:100).

On peut aussi facilement retrouver le prix de départ (antécédent) à partir du prix final (image) : 

il faut diviser par le coefficient !

Exemple :

Pour avoir le prix final après la réduction de 20%, 

on multiplie le prix de départ par (1-20:100) = 0,8.

Pour retourner au prix de départ, 

on divise le prix réduit par 0,8. 

Or diviser par 0,8 revient à multiplier par 1:0,8 = 1,25. 

Donc le prix réduit est multiplié par 1,25 pour revenir au prix initial. 

Et comme 1,25 = 1+0,25 = 1+25:100 = 1+25%, 

cela correspond à une augmentation de 25%.

Le prix réduit doit donc être augmenté de 25% 

pour retrouver le prix initial !

Fonctions affines

On ajoute une étape dans le programme de calcul 

de la fonction linéaire pour obtenir une fonction affine : 

Leurs représentations graphiques sont à nouveau des droites 

mais qui ne passent plus nécessairement par l’origine (seulement si b = 0, normal car on retrouve alors une fonction linéaire qui n’est finalement qu’un cas particulier de fonction affine).

L’ordonnée n’est plus proportionnelle à l’abscisse comme pour les fonctions linéaires mais les accroissements, eux, le sont :

Les fonctions affines apparaissent naturellement lorsqu’en plus de payer un article à l’unité, il faut ajouter un abonnement ou des frais de livraison :

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